SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL
1. Sistem Persamaan
Linier Tiga Variabel
Setiap persamaan
yang berbentuk 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚
+ 𝒄𝒛 = 𝒅; dengan a,
b, dan c tidak nol disebut “ Persamaan
Linier Tiga Variabel
“. Himpunan titik
titik yang memenuhi
persamaan tersebut
yaitu {(𝒙, 𝒚, 𝒛)│𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛
= 𝒅} adalah suatu bilangan
datar dalam sumbu-sumbu orthogonal x, y, dan z.
Sistem Persamaan Linier dengan Tiga Variabel
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏𝒛 = 𝒅𝟑
{𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐𝒛 = 𝒅𝟑
𝒂𝟑𝒙 + 𝒃𝟑𝒚 + 𝒄𝟑𝒛 = 𝒅𝟑
Yang hanya mempunyai satu Penyelesaian untuk x, y, dan z, yaitu (x, y, z)
2.
Menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier Tiga
Variabel
Untuk mencari
penyelesaiannya, serupa dengan
persamaan linier dua variabel yang telah di pelajari di SMP/ MTs, yaitu
dengan metode Subtitusi dan eliminasi.
Penyelesian
sistem sistem lnier tiga variabel (
dalam variabel-variabel x, y, dan z) dengan
menggunakan metode substitusi di tentukan melalui
langkah- langkah sebagai berikut:
1) Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana. Nyatakan x
sebagai fungsi y dan z,
atau y sebagai fungsi x dan z,
atau z sebagai fungsi x dan
y.
2) Subtitusikan x,
atau y, atau z yang di peroleh pada langkah 1 ke dua persamaan yang
lainnya sehingga di peroleh sistem persamaan linier dua variabel.
3) Selesaikan sistem persamaan linier dua variabel yang di peroleh
dari langkah 2.
4) Subtitusikan dua nilai variabel yang di peroleh pada langkah
3 ke salah satu persamaan semula untuk memperoleh nilai variabel ke tiga.
Contoh soal !
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode substitusi.
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚+ 𝟑𝒛 = 𝟐𝟑 ⋯ (𝟏)
{𝟑𝒙 − 𝒚+ 𝟑𝒛 = 𝟏𝟓 ⋯ (𝟐)
𝟓𝒙 + 𝒚− 𝟐𝒛 = −𝟐 ⋯ (𝟑)
Jawab :
𝟓𝒙 + 𝒚
− 𝟐𝒛 = −𝟐
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (2) :
𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟓
Subtitusikan persamaan
(4) ke persamaan (1) :
𝟐𝒙 + 𝟐(−𝟓𝒙
+ 𝟐𝒛 − 𝟐) +
𝟑𝒛 = 𝟐𝟑
Persamaan (5) dan (6) merupakan sistem
persamaan linier dua variabel.
Sistem persamaan linier dua variabel tersebut akan di selesaikan dengan metode substitusi.
𝟖𝒙 + 𝒛
= 𝟏𝟑
Substitusi persamaan ke (7) ke persamaan ke (6).
Substitusi x=1 ke persamaan
(7):
Sistem persamaan
linier dua variabel
tersebut mempunyai penyelesaian x =1
dan z =5.
Selanjutnya, substitusi x=1dan z=5 ke persamaan 3:
Jadi himpunan
penyelesaiannya adalah {(1,3,5)}
Penyelesaian sistem
persamaan lnier tiga variabel (dalam variabel-variabel x, y, dan z) denga menggunakan metode
eliminasi tentukan melalui langkah- langkah sebagai berikut:
1) Eliminasi salah satu variabel, x, atau y, atau z sehingga di peroleh sistem
persamaan linier dua variabel.
2) Selesaikan sistem persamaan linier dua variabel pada langkah
1 sehingga di peroleh nilai dua variabel, x dan y atau x dan z atau y
dan z.
3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang di peroleh pada langkah 2 ke salah satu persamaan semula
untuk mendapatkan nilai
variabel yang ke tiga.
Selesaikan sistem persamaan d bawah ini dengan metode Eliminasi
𝒙 + 𝟐𝒚− 𝟑𝒛 =-4⋯ (𝟏)
{𝟐𝒙 − 𝒚+ 𝒛 =5⋯ (𝟐)
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚+ 𝒛 =16⋯ (𝟑)
Jawab
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2), kemudian persamaan (2) dan (3).
Persamaan (1) → 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟒
Persamaan (2) × 𝟑 → 𝟔𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟓
𝟕𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟏 … (𝟒)
Persamaan (2) → 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟓
Persamaan (3) → 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛
= 𝟏𝟔
−𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏𝟏 … (𝟓)
Persamaan (4) dan (5) merupakan sistem persamaan linier dua
variabel.
−𝒙 − 𝟑𝒚=-11
Elimnasi y dari persamaan (4) dan (5).
Persamaan (4) × 𝟑 → 𝟐𝟏 𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟑𝟑 Persamaan (5) → −𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟏𝟏
−
𝟐𝟐𝒙 = 𝟒4
Eliminasi x dari persamaan (4) dan (5).
Persamaan (4) → 𝟕 𝒙
− 𝒚 = 𝟏𝟏
Persamaan (5) × 𝟕 → −𝟕𝒙
− 𝟐𝟏𝒚 = −𝟕𝟕
−𝟐𝟐𝒚 = −𝟔𝟔
Substitusi x =
2 dan y = 3 ke persamaan (2):
Jadi penyelesaiannya adalah (2, 3, 4), atau
Himpunan Penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}.
3.
Masalah yang melibatkan sistem persamaan linier tiga variabel
Dengan
perhitungan matematika dan dalam kehidupan
sehari-hari, sering kali kita menemukan masalah yang dapat di terjemahkan ke
dalam model matematika yang berupa sistem persamaan linier tiga variabel.
Untuk menyelesaikannya kita di
haruskan membuat model matematika berupa sistem persamaan linier terlebih
dahulu, kemudian baru menafsirkan penyelesaiannya.
Contoh Soal !
Ayu, Bimo dan Candra berbelanja di sebuah toko buku secara bersamaan. Ayu membeli 3 set pensil, 4 buku tulis dan 1 penghapus, Candra membeli 2 set pensil, 5 buku tulis dan 10 penghapus. Bimo membeli 6 set pensil, 2 buku tulis, dan 1 penghapus. Di kasir Ayu membayar Rp 83.000,00; Candra membayar Rp 158. 000,00; dan Bimo membayar Rp 86.000,00; Berapa harga Masing-masing benda tersebut?
Jawab!
Misalkan: x = Harga 1 set pensil
Sistem Persamaannya adalah :
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚+z=𝟖𝟑. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎⋯ (𝟏)
{𝟔𝒙 + 𝟐𝒚+z=𝟖𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎⋯ (𝟐)
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚+10z=𝟏𝟓𝟖. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎⋯(𝟑)
Eliminsi persamaan (1) dan (2):
Persamaan (1) → 𝟑𝒙
+ 𝟒𝒚 + 𝒛
= 𝟖𝟑. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
Persamaan (2) → 𝟔𝒙
+ 𝟐𝒚 + 𝒛
= 𝟖𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟑. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 … (𝟒)
Eliminasi persamaan (2) dan persamaan (3) :
Persamaan (2) 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛
= 𝟖𝟔. 𝟎𝟎𝟎 x10
Persamaan (3)𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟏𝟎𝒛 = 𝟏𝟓𝟖. 𝟎𝟎𝟎 x1 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟏𝟎𝒛 = 𝟏𝟓𝟖. 𝟎𝟎𝟎
−
𝟓𝟖𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟕𝟎𝟐. 𝟎𝟎𝟎 … (𝟓)
Persamaan (4) dan persamaan(5) membentuk sistem persamaan linier dua variabel.
−𝟑𝒙 + 𝟐𝒚= −𝟑. 𝟎𝟎𝟎
{𝟓𝟖𝒙 + 𝟏𝟓𝒚= 𝟕𝟎𝟐. 𝟎𝟎𝟎
Eliminasi persamaan (4) dan persamaan
(5):
Persamaan (4) −𝟑𝒙
+ 𝟐𝒚 = −𝟑. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟏𝟓 − 𝟒𝟓𝒙 + 𝟑𝟎𝒚 = 𝟒𝟓. 𝟎𝟎𝟎
Persamaan (5) 𝟓𝟖𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟕𝟎𝟐. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟐 𝟏𝟏𝟔𝒙 + 𝟑𝟎𝒚 = 𝟏. 𝟒𝟎𝟒. 𝟎𝟎𝟎
−𝟏𝟔𝟏𝒙 = −𝟏. 𝟒𝟒𝟗. 𝟎𝟎𝟎
𝒙 = 𝟗. 𝟎𝟎𝟎
Substitusi x =
9.000 ke persamaan (4) :
Substitusi x =
9.000 dan y = 12.000 ke persamaan (1):
𝟑(𝟗. 𝟎𝟎𝟎) + 𝟒(𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎) + 𝒛 = 𝟖𝟑. 𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟕. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟒𝟖. 𝟎𝟎𝟎 + 𝒛 = 𝟖𝟑. 𝟎𝟎𝟎
𝒛 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎
Jadi, harga 1 set pensil adalah Rp9.000,00;1 buku tulis adalah Rp12.000,00; dan 1 buah penghapus adalah Rp8.000,00;
Latihan Soal!!
1) Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode eliminasi dan substitusi ?
x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4
2) Toko alat tulis pak Rudi menjual alat tulis berisi buku, spidol, dan tinta dalam 3 ienis paket sebagai berikut. Paket A: 3 buku, 1 spidol, 2 tinta seharga Rp17.200,00. Paket B: 2 buku, 2 spidol, 3 tinta seharga Rp19.700,00. Paket C: 1 buku, 2 spidol, 2 tinta seharga Rp14.000,00. Hitunglah harga 1 buku + 1 spidol + 1 tinta.
3) Selesaikan persamaan liner tiga variabel di bawah ini! Dan tentukan nilai x,y dan z yang memenuhi?
2x + 3y — z = 20
3x + 2y + z = 20
x + 4y + 2z = 15
4) Sesaikan persamaan di bawah ini ?
2x + 5y – 3z = 3
6x + 8y -5z = 7
-3x + 3y + 4y = 15
Tentukan nilai Y yang memenuhi?
5) Harga 3 buku tulis, 2 pensil dan 3 bolpoint adalah Rp. 15.700, dan harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp. 9.200 sedangkan harga 4 pensil dan 3 bolpoint adalah Rp. 11,000 jika budi ingin memebeli 2 buku tulis, 1 pensil dan 4 bolpoint maka budi harus memebayar?
DAFTAR PUSTAKA
Nonmandiri.B.K.2021. Matematika UNTUK SMA/MA KELAS X. Jakarta. Erlangga.
Komentar
Posting Komentar