FUNGSI INVERS

 FUNGSI INVERS

A.    Definisi Invers Fungsi

Masih ingatkah kalian waktu kecil dulu orangtua kalian atau guru TK mengajarkan cara memakai sepatu atau melepas sepatu. Biasanya dimulai dengan mengambil sepatu dari rak sepatu, memasang kaos kaki, memasukkan kaki dan mengikat tali sepatu. Ketika belajar membuka sepatu dimulai dengan membuka tali sepatu, mengeluarkan kaki, membuka kaos kaki dan meletakkan sepatu pada tempat penyimpanan sepatu.  Kegiatan memakai sepatu dan melepas sepatu tersebut merupakan kegiatan yang berkebalikan dalam matematika yang sering dinamakan Invers. Sekarang perhatikan contoh kontekstual yang terkait dengan invers fungsi berikut:

Contoh 1:

Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari haril penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi 𝑓(𝑥) = 500𝑥 + 1000, dimana 𝑥 banyak potongan yang terjual, tentukan:

a.       Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh

b.      Jika kentungan yang diharapkan sebesar 𝑅𝑝100.000 berapa potongan kain yang habis terjual

c.       Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range) fungsi f. gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) diatas.

Penyelesaian

Keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi 𝑓(𝑥) = 500𝑥 + 1000, untuk setiap x potong kain yang terjual.

a.       Penjualan 50 potong kain, maka 𝑥 = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalah

𝑓(𝑥) = 500𝑥 + 1000 untuk 𝑥 = 50 berarti 𝑓(50) = 500(50) + 1000

= 25.000 + 1000 = 26.000

Jadi, keuntungan yang diperoleh dalam 50 potong kain sebesar 𝑅𝑝26.000

b. Agar keuntungan yang diperoleh sebesar 𝑅𝑝100.000, maka banyaknya kain yang harus terjual adalah 𝑓(𝑥) = 500𝑥 + 1000

100.000 = 500𝑥 + 1000

500𝑥 = 100.000 − 1000

500𝑥 = 99.000

99.000

𝑥 =    500    = 198

Jadi, banyaknya kain yang harus terjual adalah 198 potong

c. Jika A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f. maka permasalahan butir (a) dan butir (b) diatas digambarkan sebagai berikut

Berdasarkan gambar 10.2 diatas, maka dapat dikemukakan beberapa hal sebagai berikut:

a.       Gambar 10.2 (i) menunjukkan bahwa fungsi f  memetakan A ke B dapat ditulis

𝑓: 𝐴 → 𝐵

b.      Gambar 10.2 (ii) menunjukkan bahwa fungsi 𝑓⁻¹ memetakan A ke B dapat ditulis

𝑓⁻¹: 𝐵 → 𝐴 dimana 𝑓⁻¹ merupakan fungsi invers 𝑓

c.       Gambar 10.2 (iii) menunjukkan bahwa nilai 𝑥 = 50 maka akan dicari nilai 𝑓(𝑥)

d.      Gambar 10.2 (iv) menunjukkan bahwa kebalikan dari Gambar 10,2 (iii), yaitu mencari nilai 𝑥 jika diketahui nilai 𝑓(𝑥) = 100.000

B.    Fungsi Invers

a.      Pengertian Fungsi Invers

“Jika f suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B maka fungsi invers dari himpunan B ke himpunan A”. Dengan kata lain fungsi invers adalah kebalikan dari fungsi mula-mula. Notasi fungsi invers adalah “𝑓⁻¹(𝑥)”. Agar lebih memahami, perhatikan diagram panah berikut:

Berdasarkan Gambar 10.1, arah panah dari titik x ke titik y dinamakan fungsi y terhadap x . Sebaliknya arah panah dari titik y ke x dinamakan fungsi x terhadap y atau bisa disebut Fungsi Invers.

Secara Umum, cara menentukan invers yaitu:

1.      Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑦

2.      Tunggalkan variabel x agar dalam bentuk x terhadap y dinotasikan 𝑥 = 𝑓⁻¹(𝑥)

Gantikan Variabel y dengan x sehingga notasinya menjadi 𝑓⁻¹(𝑥)

b.      Sifat Fungsi Invers

1.      Suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dikatakan memiliki fungsi invers 𝑓⁻¹: 𝐴 → 𝐵, jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif

2.      Misalkan 𝑓⁻¹ adalah fungsi invers dari fungsi f. Untul setiap 𝑥 ∈ 𝐷_𝑓 dan 𝑦 ∈ 𝑅_𝑓

berlaku 𝑦 = 𝑓(𝑥) jika dan hanya jika 𝑓⁻¹(𝑦) = 𝑥

Contoh 2:

Diketahui fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dengan 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 7. Tentukanlah fungsi inversnya?

Penyelesaian

𝑦 = 𝑓(𝑥) jadi 𝑦 = 5𝑥 + 7 5𝑥 = 𝑦 − 7

𝑦 − 7

𝑥 =     5

𝑥 = 𝑓⁻¹(𝑦), maka 𝑓⁻¹(𝑦) = 𝑦−7, karena harus dinyatakan dalam bentuk 𝑓⁻¹(𝑥),

5

maka menjadi 𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑥−7

5

Jadi, fungsi invers dari 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 7 adalah 𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑥−7

c.      Invers dari fungsi komposisi

Pada gambar 10.3, terlihat bahwa fungsi komposisi (𝑔 ∘ 𝑓) memetakan dari a ke c, sedangkan (𝑔 ∘ 𝑓)⁻¹ memetakakan dari c ke a. dalam hal ini kami berkesimpulan bahwa𝑓⁻¹(𝑔⁻¹) = 𝑓⁻¹(𝑏) = 𝑎 dengan 𝑓⁻¹(𝑔⁻¹(𝑥)) sehingga diperoleh ,

(𝑓⁻¹ ∘ 𝑔⁻¹)(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)⁻¹(𝑥)

d.      Sifat-sifat fungsi invers dari fungsi komposisi

1.      𝑓⁻¹ ∘ 𝑔⁻¹(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)⁻¹(𝑥) atau 𝑔⁻¹ ∘ 𝑓⁻¹ = (𝑓 ∘ 𝑔)⁻¹(𝑥)

2.      𝑓 ∘ 𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑓⁻¹ ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 1

3.      (𝑓⁻¹)⁻¹(𝑥) = 𝑓(𝑥)

 

Contoh 3:

Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 7 dan 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 1, tentukan (𝑓 ∘ 𝑔)⁻¹(𝑥)

 

PenyelesaianAda dua cara dalam menjawab soal tersebut,

Pertama, menentukan dulu rumus komposisi kemudian menentukan inversnya

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(4𝑥 + 1) = 4𝑥 + 1 − 7 = 4𝑥 − 6

Misalkan 𝑦 = 4𝑥 − 6

⟺ 4𝑥 = 𝑦 + 6

𝑦 + 6

⟺ 𝑥 =     4

Jadi (𝑓 ∘ 𝑔)⁻¹(𝑥) = 𝑥+6

4

Kedua, menentukan dulu masing-masing fungsi, kemudian dikomposisikan

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 7, misalkan 𝑦 = 𝑥 − 7

⟺ 𝑥 = 𝑦 + 7 sehingga 𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑥 + 7

𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 1, misalkan 𝑦 = 4𝑥 + 1

⟺ 4𝑥 = 𝑦 − 1

⟺ 𝑥 = 𝑦−1 , sehingga 𝑔⁻¹(𝑥) = 𝑦−1

4                                                                                4

(𝑓 ∘ 𝑔)⁻¹(𝑥) = (𝑔⁻¹ ∘ 𝑓⁻¹)(𝑥)

= 𝑔⁻¹(𝑓⁻¹(𝑥))

= 𝑔⁻¹(𝑥 + 7)

(𝑥 + 7) − 1

=          4          =𝑥 − 6/4

Jadi, (𝑓 ∘ 𝑔)⁻¹(𝑥) = 𝑥+6

e. Rumus Invers bentuk kuadrat

Coba kalian simak masalah berikut.

Dikertahui 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐. Tentukan 𝑓⁻¹(𝑥)!

Penyelesaian

Misal 𝑓(𝑥) = 𝑦

𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 ↔ 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 𝑦 − 𝑐 (kedua ruas ditambah (−c)

↔ 𝑥²𝑏+ 𝑎 𝑥 =𝑦 − 𝑐(𝑎 kedua ruas dibagi 𝑎)

↔ 𝑥² +𝑏𝑥 + (𝑎𝑏  2)2𝑎𝑦 − 𝑐=𝑎𝑏  2+ 𝑏  22𝑎

(kedua ruas ditambah (𝑏  2)2𝑎 agar ruas kiri membentuk kuadrat sempurna

↔ (𝑥 +𝑏  2)2𝑎𝑦 − 𝑐=     𝑎𝑏  2+ (2𝑎)

↔ (𝑥 +𝑏  2)2𝑎𝑦 − 𝑐=𝑎𝑏2+4𝑎

Catatan

𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑥 = 𝑏±√4𝑎𝑦+𝑏2−4𝑎𝑐 akan menjadi fungsi invers jika dibatasi , 𝑥 ≥ − −𝑏

2𝑎                                                                                                                                                                                   2𝑎

 

RANGKUMAN

 

 

1.      Pengertian Fungsi Invers

“Jika f suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B maka fungsi invers dari himpunan B ke himpunan A”. Dengan kata lain fungsi invers adalah kebalikan dari fungsi mula-mula.

 

2.      Sifat Fungsi Invers

Suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dikatakan memiliki fungsi invers 𝑓⁻¹: 𝐴 → 𝐵, jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif

 

3.      Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

a.       𝑓⁻¹ ∘ 𝑔⁻¹(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)⁻¹(𝑥) atau 𝑔⁻¹ ∘ 𝑓⁻¹ = (𝑓 ∘ 𝑔)⁻¹(𝑥)

b.      𝑓 ∘ 𝑓⁻¹(𝑥) = 𝑓⁻¹ ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 1

(𝑓⁻¹)⁻¹(𝑥) = 𝑓(𝑥)

REFERENSI

Alimuddin. (2017). Top No.1: Sukes kuasai Matematika SBMPTN. Jakarta: Grasindo. Sutisna, E. (2020). Modul Pembelajaran SMA : Matematika Umum Kelas X. Tangerang:

SMAN 4 Tangerang.

Zahra, F. dkk. (2022). Makalah Fungsi Invers. Sumenep.